Introduzione all'acustica/ 2

Matematica, fisica, musica - Lez. 2/ b di Gerardo Berlangieri


Energia acustica

Un suono trasporta anche energia. Incidendo sulla membrana di un microfono o sui nostri timpani esso esercita una forza capace di porli in vibrazione. In questo modo viene effettuato del lavoro che è il prodotto di questa forza per lo spostamento netto della membrana. È necessario, quindi, introdurre un modo per rappresentare  un tale fenomeno.

Intensità acustica

L'intensità acustica istantanea è la quantità di energia che si propaga, nell'unità di tempo, attraverso l'unità di area di una superficie ideale che avvolge la sorgente. L'intensità acustica mediata nel tempo corrisponde alla potenza sonora che passa attraverso una superficie unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione.

Una sorgente sonora emette potenza (energia per unità di tempo) in un mezzo. Spesso si è interessati alla distribuzione spaziale della potenza sonora. Per far questo si introduce il concetto di intensità acustica spesso indicata con Î, che è una grandezza vettoriale espressa in watt per metro quadro(W/m²).

L’intensità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente.

Perturbazioni armoniche



Si dice perturbazione armonica una perturbazione sonora in cui la pressione sonora in un dato punto varia con la legge

p(t) =  A sin ( ω t + Φ )

dove:  A è detta ampiezza della perturbazione  ( Pa )

ω è detta pulsazione ( rad s^-1 )

Φ è detta fase ( rad )

Sono anche grandezze caratteristiche di una perturbazione armonica:

la frequenza              f = ω / 2 π        ( Hz = s^-1 )

il periodo                   T = 1 / f = 2 π / ω    ( s )

la lunghezza d’onda  λ  =  v T  = v / f      ( m)

Ne deriva l’importante relazione:

λ  f  =  cv

Una perturbazione armonica è detta anche tono puro.

Il teorema di Fourier

Una importantissima proprietà delle perturbazioni armoniche è la seguente: qualsiasi perturbazione può sempre essere considerata come somma di un numero finito o infinito di perturbazioni armoniche.

La dimostrazione dell’affermazione precedente è nota come teorema di Fourier.

Il motivo per cui questo teorema è così importante è il seguente: dal momento che qualsiasi perturbazione può essere considerata come somma di perturbazioni armoniche, basta conoscere il comportamento delle perturbazioni armoniche per poter ricostruire il comportamento di qualsiasi tipo di perturbazione

E’, ad esempio, il motivo per cui è possibile stabilire la qualità di un microfono, di un amplificatore acustico o del sistema uditivo di una persona (esame audiometrico) indagando soltanto il comportamento di uno di questi sistemi quando viene sollecitato da un numero finito di perturbazioni armoniche.

Analisi spettrale

Fourier ideò un metodo analitico per la scomposizione di un suono periodico in modo da permettere la sua rappresentazione mediante una serie, chiamata, appunto, la serie di Fourier. Questo metodo è conosciuto come analisi di Fourier.

In generale, può essere dimostrato che tutti i suoni possono essere scomposti mediante una combinazione di toni puri (armoniche), considerata come se fosse periodica con un periodo infinitamente ampio, e può quindi essere descritto come una somma infinita di componenti le cui frequenze sono strettamente vicine.

Per ottenere tale scomposizione si utilizzano le trasformate di Fourier.

Lo spettro

Uno spettro sonoro, che è composto di toni puri, contiene in sè tutti i dati sui livelli e le frequenze delle sue componenti. Usualmente si rappresenta sotto forma di grafico. Uno spettro si ottiene per mezzo dell'analisi spettrale.

Lo spettro di una perturbazione

Quando uno strumento musicale ( o un cantante ) emette una nota definita, il suono risulta la somma ( si dice anche la sovrapposizione ) di un numero finito e piccolo di armoniche.

Analisi spettrale - esempi

Descrizione del suono

Descrivere un suono implica la necessità di quantificare un certo numero di parametri come l'ampiezza, la frequenza, ecc.

L'ampio intervallo di valori assunti dalle grandezze acustiche giustifica l'uso di quantità logaritmiche che corrispondono al logaritmo del rapporto tra quantità aventi la stessa dimensione.

Il logaritmo

Una scala logaritmica consente la compressione di un intervallo di valori che altrimenti sarebbe troppo ampio per essere rappresentato su una scala lineare. Per analogia, si potrebbe pensare ad una bilancia che sia in grado di pesare tanto un insetto quanto una balena! In figura si confrontino, a tal proposito, la scala lineare a sinistra della bilancia e la scala logaritmica a destra.

Alcune proprietà dei logaritmi sono:

• il logaritmo di un valore positivo può essere negativo;
• il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi;
• il logaritmo di una somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

La funzione logaritmo trasforma una scala lineare in una scala logaritmica. Quest'ultima è spesso molto più pratica da usare in acustica.

Il livello in Decibel (dB)

In generale, il livello L in decibel (indicati con il simbolo dB, cioè decimi di Bell) di un valore di potenza P è, per definizione, dieci volte il logaritmo (in base 10) del rapporto tra P e una potenza di riferimento.

Il livello di INTENSITA’ SONORA

Il livello di intensità sonora è dato dall'espressione:

L_I = 10 log (I/I_rif )

dove I_rif  è un valore di riferimento per l'intensità.

In aria si ha

I_rif  = 1W/m² = 1 pW/m² 

(cioè un picowatt per metro quadro), che è l’intensità appena percettibile dall'orecchio umano.

Se un suono è 10 volte più intenso di un altro, si dice che ha un livello di 10 decibel rispetto al primo. Un suono 100 volte più intenso di un secondo, si dice che è 20 decibel più forte.

La gamma dei suoni più comuni

• Un suono quasi impercettibile ha un livello di 0 dB.
• Lo stormire delle foglie agitate dal vento produce una intensità di 10 dB, che coincide con quella prodotta da chi bisbiglia ad 1.5 m da noi.
• I rumori notturni di una grande città possono avere un livello di circa 40 dB.
• Un grande magazzino mediamente affollato produce un livello sonoro di 60 dB.
• Una conversazione tra due persone distanti 1 m una dall’altra produce un livello sonoro compreso tra 60 dB e 70 dB.
• Un traffico molto intenso può arrivare a 70 dB.
• Un traffico molto intenso produce un livello sonoro di 80 dB.
• Un trapano ad aria compressa a 3 m produce un livello sonoro di 90 dB.
• Dei colpi di martello su una piastra di acciaio a 0.5 m di distanza producono un  livello di 115 dB, pari a quello prodotto dall’elica di un aeroplano a 1600 giri al minuto, a 5.4 m di distanza.